Cho \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)( với \(n\in N\)và n > 1 )
Chứng minh rằng \(S_n\) không là số nguyên
Những câu hỏi liên quan
1 . Cho S_nfrac{1^2-1}{1}+frac{2^2-1}{2^2}+frac{3^2-1}{3^2}+...+frac{n^2-1}{n^2} ( với ninℕvà n 1)Chứng minh rằng S_n không là số nguyên 2 . Cho fleft(xright)ax^3+4xleft(x^2-1right)+8 và gleft(xright)x^3+4xleft(bx+1right)+c-3trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để fleft(xright)gleft(xright)
Đọc tiếp
1 . Cho \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\) ( với \(n\inℕ\)và n > 1)
Chứng minh rằng \(S_n\) không là số nguyên
2 . Cho \(f\left(x\right)=ax^3+4x\left(x^2-1\right)+8\) và \(g\left(x\right)=x^3+4x\left(bx+1\right)+c-3\)trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
a)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n-1}< 1\)
=>\(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) không phải là số nguyên
mà n -1 là số nguyên
=> \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)không là số nguyên
Cho \(S_n=\frac{1}{n^2\left(n+2\right)\sqrt{n+1}}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_n< \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Câu1:Chứng minh:1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+....+frac{1}{2k-1}-frac{1}{2k}frac{1}{k+1}+frac{1}{k+2}+...+frac{1}{2k}Câu 2:Cho S_n1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}.Chứng minh :a)S_nn-left(frac{1}{2}+frac{2}{3}+frac{3}{4}+...+frac{n-1}{n}right)b)nS_nn+frac{n-1}{1}+frac{n-2}{2}+...+frac{2}{n-2}+frac{1}{n-1}
Đọc tiếp
Câu1:Chứng minh:
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}\)
Câu 2:Cho \(S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\).Chứng minh :
a)\(S_n=n-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{n-1}{n}\right)\)
b)n\(S_n=n+\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1}\)
16 tháng 9 2018 lúc 22:49
Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)
Đặt \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
iopdtg5 r4ytr'hfgo;hrt687y5t53434]\trvf;lkg
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
\(S_n=1^3+2^3+3^3+......+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
mn giải hộ e vs ạ
chứng minh \(S_n-2=\left(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right)^2\) .Tìm tất cả các số n để \(S_n-2\)là số chính phương
Cho \(S_n=\frac{1}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n}}\)Chứng minh rằng: \(S_1+S_2+...+S_n< 2\)
\(\frac{1}{\sqrt{n}\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).\frac{2}{\sqrt{n}}\)\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
=>\(S_1+...+S_n< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
17 tháng 7 2023 lúc 12:32
Tính các tổng sau:
a) \({S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}\);
b) \({S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9}\)
a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)
Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:
\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)
Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Với mỗi số nguyên dương \(n\le2008\)
Đặt \(S_n=a^n+b^n\) với \(a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) và \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
CMR với \(n\ge1\) ta có \(S_n-2=\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^n-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^n\right]^2\)
Đáp án của bạn ở đây: https://dethihsg.com/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-9-phong-gddt-cam-thuy-2011-2012/amp/
Đúng 0
Bình luận (0)